1275: #2045. 「CQOI2016」密钥破解

一种非对称加密算法的密钥生成过程如下：

1. 任选两个不同的质数 $p,q$；
2. 计算 $N=pq,r=(p-1)(q-1)$；
3. 选取小于 $r$，且与 $r$ 互质的整数 $e$；
4. 计算整数 $d$，使得 $ed\equiv 1\left(\mathrm{mod}r\right)$；
5. 二元组 $(N,e)$ 称为公钥，二元组 $(N,d)$ 称为私钥。

当需要加密消息 $n$ 时（假设 $n$ 是一个小于 $N$ 的整数，因为任何格式的消息都可转为整数表示），使用公钥 $(N,e)$，按照

$$n^e\equiv c\left(\mathrm{mod}N\right)$$

运算，可得到密文 $c$。

对密文 $c$ 解密时，用私钥 $(N,d)$，按照

$$c^d\equiv n\left(\mathrm{mod}N\right)$$

运算，可得到原文 $n$。算法正确性证明省略。

由于用公钥加密的密文仅能用对应的私钥解密，而不能用公钥解密，因此称为非对称加密算法。通常情况下，公钥由消息的接收方公开，而私钥由消息的接收方自己持有。这样任何发送消息的人都可以用公钥对消息加密，而只有消息的接收方自己能够解密消息。

现在，你的任务是寻找一种可行的方法来破解这种加密算法，即根据公钥破解出私钥，并据此解密密文。